RESUMO. Dois importantes problemas de otimização combinatória ocorrem no planejamento da produção em indústrias papeleiras: o problema de dimensionamento de lotes e o problema de corte de estoque multiperíodo. O problema de dimensionamento de lotes deve determinar a quantidade de bobinas jumbos de diferentes tipos de papel (gramaturas) a serem produzidos em cada máquina, ao longo de um horizonte de planejamento finito. Estes jumbos são então cortados para atender a demanda de itens para cada período. Neste trabalho, tratamos da integração desses dois problemas, procurando minimizar custos com produção e estoque dos jumbos, como também a perda de papel durante o processo de corte. Duas modelagens matemáticas para o problema integrado foram consideradas, e os modelos foram resolvidos heuristicamente usando um pacote de otimização. Procurando obter limitantes inferiores para o problema, foram resolvidas versões relaxadas dos modelos. Finalmente, experimentos computacionais são apresentados e discutidos.

ABSTRACT. Two important optimization problems occur in the planning and production scheduling inpaper industries: the lot sizing problem and the cutting stock problem. The lot sizing problem must determine the quantity of jumbos of different types of paper to be produced in each machine over a finite planning horizon. These jumbos are then cut in order to meet the demand of items for each period. In this paper, we deal with the integration of these two problems, aiming to minimize costs of production and inventory of jumbos, as well as the trim loss of paper generated during the cutting process. Two mathematical models for the integrated problem are considered, and these models are solved both heuristically and using an optimization package. Attempting to get lower bounds for the problem, relaxed versions of the models also have been solved. Finally, computational experiments are presented and discussed.

RESUMO Este trabalho aborda o problema da diagonalização conjunta aproximada de uma coleção de matrizes reais e simétricas. A otimização é realizada com a restrição de que a matriz de transformação de semelhança seja ortogonal. As soluções são apresentadas de forma analítica para matrizes de ordem 2. São introduzidos os conceitos de vetor anti-diagonalizante, amplitude de uma matriz, que é expressa em termos dos autovalores, e matrizes parcialmente complementares. Isto permite fazer uma interpretação geométrica da diagonalização conjunta aproximada, em termos dos autovetores e dos vetores anti-diagonalizantes das matrizes. Esta contribuição deve auxiliar na melhoria de procedimentos numéricos e computacionais envolvendo matrizes de ordem maior que 2.

ABSTRACT The problem of joint approximate diagonalization of symmetric real matrices is addressed. It is reduced to an optimization problem with the restriction that the matrix of the similarity transformation is orthogonal. Analytical solutions are derived for the case of matrices of order 2. The concepts of off-diagonalizing vectors, matrix amplitude, which is given in terms of the eigenvalues, and partially complementary matrices are introduced. This leads to a geometrical interpretation of the joint approximate diagonalization in terms of eigenvectors and off-diagonalizing vectors of the matrices. This should be helpful to deal with numerical and computational procedures involving high-order matrices.